Question

【題目】設函數．

（1）若是偶函數，求的值；

（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數，若在有零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由偶函數的定義，作差變形后可求出實數的值；

（2）由已知代入可得，不等式兩邊同時除以可得出，換元，可得出，利用二次函數的單調性求出函數在區間上的最大值，即可得出實數的取值范圍；

（3）求出，換元，由此可得出函數在上有零點，利用參變量分離法得出，利用單調性求出函數在區間上的值域，即可得出實數的取值范圍.

（1）若是偶函數，則，即

即，則，即；

（2），即，即，

則，設，，.

設，則，

則函數在區間上為增函數，

當時，函數取得最大值，.

因此，實數的取值范圍是；

（3），則，

則，

設，當時，函數為增函數，則，

若在有零點，即在上有解，即，即，

函數在上單調遞增，則，即.，因此，實數的取值范圍是.