Question

【題目】設集合 ，如果存在的子集，，同時滿足如下三個條件：

①；

②，，兩兩交集為空集；

③，則稱集合具有性質.

（Ⅰ） 已知集合，請判斷集合是否具有性質，并說明理由；

（Ⅱ）設集合，求證：具有性質的集合有無窮多個.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不具有，理由見解析；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）由條件易得集合具有性質，對集合中的進行討論，利用題設條件得出集合不具有性質；

（Ⅱ）利用反證法，假設具有性質的集合有限個，根據題設條件得出矛盾，即可證明具有性質的集合有無窮多個.

解：(Ⅰ)具有性質，如可取；

不具有性質；理由如下：

對于中的元素，或者

如果，那么剩下個元素，不滿足條件；

如果，那么剩下個元素，也不滿足條件．

因此，集合不具有性質.

（Ⅱ）證明：假設符合條件的只有有限個，設其中元素個數最多的為.

對于，由題設可知，存在，滿足條件. 構造如下集合

由于

所以

易驗證，，對集合滿足條件，而

也就是說存在比的元素個數更多的集合具有性質，與假設矛盾．

因此具有性質的集合有無窮多個.