Question

【題目】橢圓經過點，左、右焦點分別是，，點在橢圓上，且滿足的點只有兩個.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過且不垂直于坐標軸的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在一點，使得的角平分線是軸？若存在求出，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題得點為橢圓的上下頂點，得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線的方程為，聯立直線和橢圓方程得到韋達定理，根據得到. 所以存在點，使得的平分線是軸.

解：（I）由題設知點為橢圓的上下頂點，所以，b=c,,

故，,

故橢圓方程為 .

（Ⅱ）設直線的方程為，聯立

消得

設，坐標為，則有

，，又，

假設在軸上存在這樣的點，使得軸是的平分線，則有

而

將，，代入

有

即

因為，故. 所以存在點，使得的平分線是軸.