Question

【題目】已知圓的圓心為，為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，點，.若點為直線上一動點，且不在軸上，直線、分別交曲線于、兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）線段的垂直平分線交于點，則.所以，即點在以、為焦點，長軸長為4的橢圓上，即可求出軌跡方程.

（2）設，由于橢圓關于軸對稱，所以不妨設則直線的方程為：，直線的方程為：.設，，聯立直線方程與橢圓方程，即可求出，的坐標，而

再用基本不等式的性質及函數的性質求出面積最值.

解：（1）由題意，線段的垂直平分線交于點，則.

所以，

即點在以、為焦點，長軸長為4的橢圓上，

所以，，

故點的軌跡方程為：；

（2）設，由于橢圓關于軸對稱，所以不妨設

則直線的方程為：，直線的方程為：.

設，

由得，則，

即，于是.

同理可得：，

所以

設，則，則

在單調遞減，故.