Question

【題目】已知等比數列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1 ， a3 ， a2+14成等差數列，數列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）3n+1（n∈N*）．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）令cn=（﹣1）n ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：等比數列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差數列，

∴2q2=1+q+14，解得q=3，

∴an=3n﹣1．

∵數列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）3n+1（n∈N*）．

∴n=1時，a1b1=1，解得b1=1．

n≥2時，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）3n﹣1+1，

可得：anbn=（2n﹣1）3n﹣1，∴bn=2n﹣1．（n=1時也成立）．

∴bn=2n﹣1．

（2）解：cn=（﹣1）n =（﹣1）n =（﹣1）n ，

∴n=2k（k∈N*）時，數列{cn}的前n項和Tn=﹣ + +…﹣ + = = ．

n=2k﹣1（k∈N*）時，數列{cn}的前n項和Tn=Tn+1﹣cn+1= ﹣ =﹣ ．

∴Tn= ．

【解析】（1）利用等差數列與等比數列的通項公式、遞推關系即可得出．（2）cn=（﹣1）n =（﹣1）n ，對n分類討論即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．