Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）設F（x）=f（x）﹣g（x）． ①若a= ，求函數y=F（x）的零點；
②若函數y=F（x）存在零點，求a的取值范圍．
（2）設h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若對任意x1 ， x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，

①若a= ，則由F（x）=x﹣ |x|﹣ =0得： |x|=x﹣ ，

當x≥0時，解得：x=1；

當x＜0時，解得：x= （舍去）；

綜上可知，a= 時，函數y=F（x）的零點為1；

②若函數y=F（x）存在零點，則x﹣a=a|x|，

當a＞0時，作圖如下：

由圖可知，當0＜a＜1時，折線y=a|x|與直線y=x﹣a有交點，即函數y=F（x）存在零點；

同理可得，當﹣1＜a＜0時，求數y=F（x）存在零點；

又當a=0時，y=x與y=0有交點（0，0），函數y=F（x）存在零點；

綜上所述，a的取值范圍為（﹣1，1）．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]， ∴當-2≤x＜0時，h（x）=（1-a）x-a； 當0≤x≤2時，h（x）=（1+a）x-a； 又對任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立， 則h（x1）max-h（x2）min≤6， ①當a≤-1時，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在區間[-2，0）上單調遞增； h（x）=（1+a）x-a在區間[0，2]上單調遞減（當a=-1時，h（x）=-a）； ∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a， ∴h（x2）min=h（-2）=a-2， ∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2， 綜上，-2≤a≤-1； ②當-1＜a＜1時，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在區間[-2，0）上單調遞增， 且h（x）=（1+a）x-a在區間[0，2]上也單調遞增， ∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2， 由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1適合題意； ③當a≥1時，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在區間[-2，0）上單調遞減 （當a=1時，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在區間[0，2]上單調遞增； ∴h（x）min=h（0）=-a； 又h（2）=2+a＞a-2=h（-2）， ∴h（x）max=h（2）=2+a， ∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1， ∴1≤a≤2； 綜上所述，-2≤a≤2．
【解析】（1）設F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a= ，由F（x）=0，即可求得F（x）的零點；②若函數y=F（x）存在零點，則x﹣a=a|x|，等號兩端構造兩個函數，當a＞0時，在同一坐標系中作出兩函數的圖象，即可求得滿足題意的a的取值范圍的一部分；同理可得當a＜0時的情況，最后取并即可求得a的取值范圍．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，對任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三類討論，即可求得a的取值范圍．