Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的最下正周期為π，且點P（ ，2）是該函數圖象的一個人最高點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣ ，0]，求函數y=f（x）的值域；
（3）把函數y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜ ）個單位，得到函數y=g（x）在[0， ]上是單調增函數，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由題意可得，A=2， =π，

∴ω=2．

∵再根據函數的圖象經過點M（ ，2），可得2sin（2× +φ）=2，結合|φ|＜ ，可得ω= ，

∴f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：∵x∈[﹣ ，0]，

∴2x+ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣1， ]，可得：f（x）=2sin（2x+ ）∈[﹣2，1]．

（3）解：把函數y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜ ）個單位，

得到函數y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+ ]=2sin（2x﹣2θ+ ），

∴令2kπ﹣ ≤2x﹣2θ+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ+θ﹣ ≤x≤kπ+θ+ ，k∈Z，

可得函數的單調遞增區間為：[kπ+θ﹣ ，kπ+θ+ ]，k∈Z，

∵函數y=g（x）在[0， ]上是單調增函數，

∴ ，

∴解得： ，k∈Z，

∵0＜θ＜ ，

∴當k=0時，θ∈[ ， ]．

【解析】（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．（2）由x的范圍可求2x+ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函數的性質可求其值域．（3）利用三角函數平移變換規律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+ ），利用正弦函數的單調性可求函數的單調遞增區間，進而可得 ，k∈Z，結合范圍0＜θ＜ ，可求θ的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象即可以解答此題．