Question

【題目】某生態公園的平面圖呈長方形（如圖），已知生態公園的長AB=8（km），寬AD=4（km），M，N分別為長方形ABCD邊AD，DC的中點，P，Q為長方形ABCD邊AB，BC（不含端點）上的一點．現公園管理處擬修建觀光車道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求觀光車道圍成四邊形（如圖陰影部分）的面積為15（km2），設BP=x（km），BQ=y（km），
（1）試寫出y關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）若B為公園入口，P，Q為觀光車站，觀光車站P位于線段AB靠近入口B的一側．經測算，每天由B入口至觀光車站P，Q乘坐觀光車的游客數量相等，均為1萬人，問如何確定觀光車站P，Q的位置，使所有游客步行距離之和最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M，N是AD，CD的中點，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，

∴S△AMP= =8﹣x，S△DMN= =4，S△NCQ= =8﹣2y，S△BPQ= ，

∵觀光車道圍成四邊形（如圖陰影部分）的面積為15（km2），

∴8﹣x+4+8﹣2y+ xy=4×8﹣15=17，

∴y= = ．

令0＜y＜4，即0＜ ＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．

（2）解：由題意可知0＜x＜3，

∴x+y=x+ =x+2﹣ ，

令f（x）=x+2﹣ ，則f′（x）=1﹣ ，

令f′（x）=0得x=4﹣ ，

∴當0＜x 時．f′（x）＞0，當4﹣ ＜x＜3時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，4﹣ ）上單調遞增，在（4﹣ ，3）上單調遞減，

∴當x=4﹣ 時，f（x）取得最大值6﹣2 ．

∴所有游客的步行距離之和的最大值為20000×（6﹣2 ）=40000（3﹣ ）km．

【解析】（1）根據面積列方程得出y關于x的解析式；（2）利用導數求出x+y的最大值，從而得出步行距離之和的最大值．