Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（Ⅰ）若a=﹣1，證明：函數f（x）是（0，+∞）上的減函數；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x﹣y=0平行，求a的值；
（Ⅲ）若x＞0，證明： （其中e=2.71828…是自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣1時，f（x）= ，
∴函數的定義域為（﹣1，0）∪（0，+∞），
∴f′（x）= ，
設g（x）=x﹣（x+1）ln（x+1），
∴g′（x）=1﹣[ln（x+1）+1]=﹣ln（x+1），
∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數．
（Ⅱ）∵f′（x）= ，
∴k=f′（1）= ，
∵y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x﹣y=0平行
∴ =1，
即ln（1﹣a）= ，分別畫出y=ln（1﹣x）與y= 的圖象，
又圖象可知交點為（0，0）
∴解得a=0．
（Ⅲ）：∵ = = ，
∴ = ，
由（Ⅰ）知，當a=﹣1時，f（x）= 在（0，+∞）上為減函數，
故要證原不等式成立，只需要證明：當x＞0時，x＜ex﹣1，
令h（x）=ex﹣1﹣x，
則h′（x）=ex﹣1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴h（x）＞h（0）=0，即x＜ex﹣1，
∴f（x）＞f（ex﹣1）
即 ．

【解析】（Ⅰ） 先求導，得到f′（x）= ，再構造函數g（x）=x﹣（x+1）ln（x+1），求出g（x）的最大值為0，繼而得到f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，問題得以證明；（Ⅱ）欲求a的值，根據在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，解方程即可得；（Ⅲ） = ，由（Ⅰ）的結論，故要證原不等式成立，只需要證明：當x＞0時，x＜ex﹣1，構造函數，利用導數和函數的最值的關系即可證明．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．