Question

【題目】已知橢圓的長軸與短軸之和為6，橢圓上任一點到兩焦點， 的距離之和為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與橢圓交于， 兩點， ， 在橢圓上，且， 兩點關于直線對稱，問：是否存在實數，使，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 的值為

【解析】試題分析：

（1）由題意可得， .則橢圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立可得，直線與橢圓相交，則，解得，設， 兩點的坐標分別為， ， 的中點為，利用中點坐標公式結合韋達定理可得，點在直線上，代入直線方程可得，則.由弦長公式有..由解方程可得，即存在實數使.

試題解析：

（1）由題意， ， ，

∴， .

∴橢圓的標準方程為.

（2）∵， 關于直線對稱，

設直線的方程為，

聯立，消去，

得，

，解得，

設， 兩點的坐標分別為， ，

則， ，

設的中點為，

∴，

∴，

又點也在直線上，

則，∴，

∵，∴.

則 .

同理.

∵，∴，

∴，∴，

∴存在實數使，此時的值為.