Question

【題目】設函數f（x）在R上存在導數f′（x），對任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2 ， 且x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，則實數a的取值范圍為（ ）
A.[1，+∞）
B.（﹣∞，1]
C.（﹣∞，2]
D.[2，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2 ， ∴f（x）﹣ x2 +f（﹣x）﹣ x2 =0，
令g（x）=f（x）﹣ x2 ， ∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣ x2+f（x）﹣ x2=0，
∴函數g（x）為奇函數．
∵x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，
故函數g（x）在（﹣∞，0）上也是增函數，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數．
f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等價于f（2﹣a）﹣ ≥f（a）﹣ ，
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，
故選：B．
【考點精析】關于本題考查的基本求導法則，需要了解若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導才能得出正確答案．