Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率e= ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A，B，與圓x2+y2= 相切于點M．
（i）證明：OA⊥OB（O為坐標原點）；
（ii）設λ= ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵2b=2，∴b=1．
又e= = ，a2=b2+c2 ，
∴a2=2．
∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）（i）∵直線l：y=kx+m與圓x2+y2= 相切，
∴ ，即 ．
由 ，消去y并整理得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則 ．
∵ ．
=
=
= ，
∴OA⊥OB．
（ii）∵直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A，B，
∴ ， ．
∴ = = ．
由（Ⅱ）（i）知x1x2+y1y2=0，
∴x1x2=﹣y1y2 ， ，即 ．
∴ ．
∵ ，
∴λ的取值范圍是
【解析】（Ⅰ）由已知得到b=1，結合e= ，即a2=b2+c2求得a2=2，則橢圓方程可求；（Ⅱ）（i）由直線l：y=kx+m與圓x2+y2= 相切，可得 ，即 ．聯立直線方程好橢圓方程，得到A，B橫坐標的和與積，代入可得 ，得到OA⊥OB；（ii）直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A，B，把A，B的坐標代入橢圓方程，可得 ， ．在圓中由垂徑定理可得 = = ．結合x1x2+y1y2=0，得到 ．由x1 的范圍求得λ的取值范圍．