【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C: 
=1（a>b>0）過點P(1, 
）．離心率為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點．
①若直線l過橢圓C的右焦點，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t．
求t的最大值；
②若直線l的斜率為
，試探究OA2+ OB2是否為定值，若是定值，則求出此
定值；若不是定值，請說明理由．
【答案】（1）
（2）當
時，t有最大值
；定值7
【解析】試題分析: （1）由橢圓過點P(1, 
），離心率為
，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）①設直線l的方程為x=my+1，代入橢圓，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出t的最大值．
②設直線l的方程為
，代入橢圓，得
，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出OA2+OB2為定值．
試題解析：
（1）
得
所以橢圓
.
（2）①設直線l的方程為
，直線l與橢圓C的交點為
，
由
化簡得
，易知
，
所以
，
所以
＝
，
所以
，
所以當
時，t有最大值
.
②設直線l的方程為
，直線l與橢圓C的交點為
，
得
，
，即
.
，
，
=
=
=
=7.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】直線過點P
且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在這樣的直線滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】收入是衡量一個地區經濟發展水平的重要標志之一,影響收入的因素有很多，為分析學歷對收入的作用，某地區調查機構欲對本地區進行了此項調查.
（1）你認為應采用何種抽樣方法進行調查？
（2）經調查得到本科學歷月均收入條形圖如圖，試估算本科學歷月均收入
的值？
（3）設學年為
，令
，月均收入為
，已知調查機構調查結果如下表
學歷 （年） | 小學 | 初中 | 高中 | 本科 | 碩士生 | 博士生 |
| 6 | 9 | 12 | 16 | 19 | 22 |
| 2.0 | 2.7 | 3.7 | 5.8 | 7.8 | |
| 2210 | 2410 | 2910 |
| 6960 |
從散點圖中可看出
和
的關系可以近似看成是一次函數圖像. 若回歸直線方程為
，試預測博士生的平均月收入.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與直線y=﹣2的兩個相鄰公共點之間的距離等于π，則f（x）的單調遞減區間是（ ）
A.[kπ+ 
，kπ+ 
]，k∈z
B.[kπ﹣ 
，kπ+ ]，k∈z
C.[2kπ+ ，2kπ+ 
]，k∈z
D.[2kπ﹣ 
，2kπ+ 
]，k∈z
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下說法中不正確的是（ ）
A.f（x）周期為2π
B.f（x）最小值為﹣ 
C.f（x）在區間[0， 
]單調遞增
D.f（x）關于點x= 
對稱
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，點
與
關于坐標原點對稱，直線
垂直于
軸，垂足為
，與拋物線交于不同的兩點
， 
，且
.
（1）求點
的橫坐標.
（2）若以
， 
為焦點的橢圓
過點
（ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（ⅱ）過點
作直線
與橢圓
交于
， 
兩點，設
，若
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
定義在
上且滿足下列兩個條件:
①對任意
都有
;
②當
時,有
，
（1）求
，并證明函數在上是奇函數；
（2）驗證函數
是否滿足這些條件；
（3）若
，試求函數
的零點.
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