Question

【題目】如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，

∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．

（1）證明：EF∥面PAD；

（2）證明：面PDC⊥面PAD；

（3）求四棱錐P—ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析: （1）確定出EF∥AP，運用判斷定理可證明．（2）抓住CD⊥AD，CD⊥面PAD，運用面面垂直的定理可證明．（3）確定PO為四棱錐P﹣ABCD的高．

求出PO=1，運用體積公式V=PO×AB×AD求解即可．

試題解析：

（1）如圖，連接AC，∵ABCD為矩形且F是BD的中點，∴AC必經過F，又E是PC的中點，所以，EF∥AP

∵EF在面PAD外，PA在面內，∴EF∥面PAD

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線且在面PDC內，∴AP⊥面PCD，又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD

（3）取AD中點為O，連接PO，因為面PAD⊥面ABCD及△PAD為等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO為四棱錐P—ABCD的高，∵AD=2，∴PO=1，

所以四棱錐P—ABCD的體積