Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線段上一點.

（I）若，求證：平面；

（II）若，，異面直線與成角，二面角的余弦值為，求的長及直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II），直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

（I）過點作，交于點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形得出，然后利用線面平行的判定定理可得出結論；

（II）證明出平面，過點作交于點，并以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法結合二面角的余弦值為求出的值，再利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值.

（I）過點作，交于點，連接，

，，，，

，，所以，四邊形為平行四邊形，則，

平面，平面，平面；

（II）異面直線與成角，即，

，，平面，

，過點作交于點，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設，則、、、，

，，，

設平面的法向量為，則，

取，則，，則，

同理可得平面的一個法向量為，

由于二面角的余弦值為，

則，解得，

所以，，易知平面的一個法向量為，

設直線與平面所成角為，則，

因此，直線與平面所成角的正弦值為.