Question

【題目】定義：如果函數在定義域內給定區間上存在，滿足，則稱函數是上的“平均值函數”，是它的一個均值點．例如y=| x |是上的“平均值函數”，0就是它的均值點．給出以下命題：

①函數是上的“平均值函數”．

②若是上的“平均值函數”，則它的均值點x0≥．

③若函數是上的“平均值函數”，則實數m的取值范圍是．

④若是區間[a.，b] （b>a.≥1）上的“平均值函數”，是它的一個均值點，則．

其中的真命題有_________．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

直接利用定義判斷①的正誤；利用反例判斷②的正誤；利用定義推出m的范圍判斷③的正誤；利用分析法直接證明，結合導數可證明④的正誤.

解：①由，可得

由，可得滿足“平均值函數”，故①正確；

②舉反例，令，，可得，又，故②錯誤；

③ 由函數是上的“平均值函數”，所以關于的方程：

在區間內有實數根，

由，可得，可得，或，

又，故必為均值點，即，可得，故③ 正確；

④由題意得：，要證明，

即證明：，

令，原式子等價于：，

令，可得，

故在區間是減函數，故，故④正確；

故答案為：①③④.