Question

【題目】某芯片公司為制定下一年的研發投入計劃，需了解年研發資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.該公司對歷史數據進行對比分析，建立了兩個函數模型:①，②，其中均為常數，為自然對數的底數．

現該公司收集了近12年的年研發資金投入量和年銷售額的數據，，并對這些數據作了初步處理，得到了右側的散點圖及一些統計量的值．令，經計算得如下數據：

（1）設和的相關系數為，和的相關系數為，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；

（2）（i）根據（1的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額需達到90億元，預測下一年的研發資金投入量是多少億元？

附：①相關系數，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；

② 參考數據：，，．

Answer 1

【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）（i）；（ii）億元.

【解析】

（1）由相關系數求出兩個系數，比較大小可得；

（2）（i）先建立關于的線性回歸方程，從而得出關于的回歸方程；

（ii）把代入（i）中的回歸方程可得值．

本小題主要考查回歸分析等基礎知識,考查數據處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應用意識,考查統計與概率思想、分類與整合思想,考查數學抽象、數學運算、數學建模、數據分析等核心素養,體現基礎性、綜合性與應用性．

解：（1），

，

則，因此從相關系數的角度，模型的擬合程度更好

（2）（i）先建立關于的線性回歸方程.

由，得，即．

由于，

所以關于的線性回歸方程為，

所以，則

（ii）下一年銷售額需達到90億元，即，

代入得，，

又，所以，

所以，

所以預測下一年的研發資金投入量約是億元