Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1＝，an＋1＝（n∈N*）．（其中e為自然對數的底數，e＝2.71828…）

（1）證明：an＋1>an（n∈N*）；

（2）設bn＝1－an，是否存在實數M>0，使得b1＋b2＋…＋bn≤M對任意n∈N*成立？若存在，求出M的一個值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）構造函數證明即可得證；

（2）先用數學歸納法證明，則bn＝1－an，取，通過轉化即可證明.

考慮函數，則，

由得，由得，

所以函數在單調遞減，單調遞增，

所以，即，當且僅當時取得等號，

所以，當等號成立時，即，但a1＝，

所以an＋1>an（n∈N*）；

（2）不存在，理由如下：

先用數學歸納法證明

當n=1時，滿足題意；

假設當n=k時命題成立，即成立，

那么當n=k+1時，，

即當n=k+1時，命題也成立，

所以對于一切n∈N*，都有，

bn＝1－an，取，

即，

所以對于任意實數M＞0，取t>2M，且，

有

所以不存在滿足條件的M.