Question

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）以為直徑的圓過定點.

【解析】

(1)根據拋物線的焦點與橢圓的頂點公式求解即可.

(2) 設直線的方程為,聯立直線與橢圓的方程,列出韋達定理,并根據直線與圓相切得出的關系式,代入證明即可.

（1）因為橢圓的離心率,所以,即.

因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,

所以,所以.所以橢圓的方程為.

（2）因為直線的斜率存在且不為零.故設直線的方程為.

由消去,得,

所以設,則.

所以.

所以.①

因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,

整理,得,②

將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經過定點

綜上可知,以為直徑的圓過定點.