Question

在△ABC中，acosB+bcosA=2ccosA，tanB=3tanC，則

AC

AB

=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,同角三角函數基本關系的運用

專題：解三角形

分析：先根據已知等式利用正弦定理把邊轉化成角的正弦，利用兩角和公式化簡求得cosA的值，進而求得A，利用正切的兩角和公式求得tanC的值，最后根據正弦定理把

AC

AB

轉化為

sinB

sinC

求得答案．

解答： 解：∵acosB+bcosA=2ccosA，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，
∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，
∵tanB=3tanC，
∴tanA=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

4tanC

1-3tan2C

=-

3

，
∴3

3

tan²C-4tanC-

3

=0，解得tanC=

4±2 13

6 3

，
∵tanB=3tanC，
tanB＞tanC，則C為銳角，
∴tanC=

4+2 13

6 3

，
∵tanB=3tanC，
∴

sinB

cosB

=

3sinC

cosC

，
∴

sinB

sinC

=

3cosB

cosC

=3•

cos(120°-C)

cosC

=3•

(- 1 2 )•cosC+ 3 2 sinC

cosC

=3（-

1

2

+

3

2

•tanC）=3×（-

1

2

+

3

2

×

4+2 13

6 3

）=

13 -1

2

，
∴

AC

AB

=

sinB

sinC

=

13 -1

2

．
故答案為：

13 -1

2

．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，兩角和公式的應用．解題的關鍵是求得tanC的值．