Question

【題目】已知ab≠0，求證a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由，證得成立，得到必要性；在由，證得成立，得到充分性，即可得到證明.

必要性；

因為a＋b＝1，即a＋b－1＝0，

所以 a3＋b3＋ab－a2－b2=(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab)=(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

充分性：

因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，所以 (a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，

又因為ab≠0，所以 a≠0且b≠0，所以 a2＋b2－ab＝＋b2＞0，

所以 a＋b－1＝0.所以 a＋b＝1.

綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.