Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，

可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），

當a≥0時，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增；

當a＜0時，若a=﹣ ，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；

若a＜﹣ 時，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；

由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．

即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；

在（1，ln（﹣2a））遞減；

若﹣ ＜a＜0，由f′（x）＜0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；

由f′（x）＞0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．

即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞減；

在（1，ln（﹣2a））遞增；

（2）

解：由（Ⅰ）可得若a≥0時，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，

且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有兩個零點；

若a＜﹣ 時，f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，

在（1，ln（﹣2a））遞減，f（1）=﹣e＜0，f（x）只有一個零點；

若a=﹣ ，f（x）在R上遞增，f（x）只有一個零點；

若﹣ ＜a＜0，f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞減；

在（1，ln（﹣2a））遞增；且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；

x→﹣∞，f（x）→﹣∞．f（x）在（1，+∞）只有一個零點，

f（x）若恰有兩個零點，只要使f（ln（﹣2a））=0，

即（ln（﹣2a）﹣2）（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1}2=0，

即有4﹣2ln（﹣2a）+[ln（﹣2a）﹣1}2=0，

又﹣ ＜a＜0，可得ln（﹣2a）＜1，4﹣2ln（﹣2a）＞0，[ln（﹣2a）﹣1}2＞0，則不可能為0，

綜上可得，f（x）有兩個零點時，a的取值范圍為[0，+∞）

【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，討論當a≥0時，a＜﹣ 時，a=﹣ 時，﹣ ＜a＜0，由導數大于0，可得增區間；由導數小于0，可得減區間；（2）由（Ⅰ）的單調區間，對a討論，結合單調性和函數值的變化特點，即可得到所求范圍．；本題考查導數的運用：求單調區間，考查函數零點的判斷，注意運用分類討論的思想方法和函數方程的轉化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．