Question

【題目】設函數．

（1）若是函數的極值點，1和是函數的兩個不同零點，且，求．

（2）若對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先求導再結合極值點和零點建立方程組，

在上單調遞減；在上單調遞增故函數至多有兩個零點，其中，，再由零點定理得，故；（2）令，為關于的一次函數且為增函數

在上有解，再令，原命題轉化為只需存在使得，設，令，再利用導數工具，結合分類討論思想和數形結合思想求導正解．

試題解析： （1），∵是函數的極值點，∴．

∵是函數的零點，得，

由解得，．

∴，．

令,，得，

令，得，

所以在上單調遞減；在上單調遞增．

故函數至多有兩個零點，其中，，

因為，，

，所以，故．

（2）令，，則為關于的一次函數且為增函數，

根據題意，對任意，都存在，使得成立，

則在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，，

∴在上單調遞增，，

①當，即時，，即，在上單調遞增，∴，不符合題意；

②當，即時，，．

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上單調遞減，

∴存在，使得，符合題意．

若，則，∴在上一定存在實數，使得，∴在上恒成立，即恒成立，在上單調遞減，∴存在，使得，符合題意．

綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立．