Question

【題目】在三棱柱中，,,為的中點.

（1）證明：；

（2）若，點在平面的射影在上，且與平面所成角的正弦值為，求三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析;（2）高為

【解析】

（1）連結交于點E，連結DE，，得面；

（2）取的中點O，連結，因為點在面ABC上的攝影在AC上，且，所以面ABC，則可建立如圖的空間直角坐標系，設，求出平面的法向量，由BC與平面所成角的正弦值為，即，可求得.

（1）連結交于點E，連結DE，則E是的中點，

又D為的中點，所以，且面，面，

所以面；

（2）取的中點O，連結，

因為點在面ABC上的攝影在AC上，且，

所以面ABC，可建立如圖的空間直角坐標系，設，

因為，

則，

，

設為面的法向量，

，取，則，

由BC與平面所成角的正弦值為，即

，解得，

所以三棱柱的高是.