Question

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的標準方程；

（Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），：；（Ⅱ） 或

【解析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗證個點知（3，）、（4，4）在拋物線上，易求

設(shè)：，把點（2，0）（，）代入得：

解得

∴方程為

（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線過拋物線焦點，設(shè)直線的方程為兩交點坐標為，

由消去，得

∴①

②

由，即，得

將①②代入（*）式，得，解得

所以假設(shè)成立，即存在直線滿足條件，且的方程為：或

法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意；

當直線斜率存在時，假設(shè)存在直線過拋物線焦點，設(shè)其方程為，與的交點坐標為

由消掉，得，

于是，①

即②

由，即，得

將①、②代入（*）式，得，解得；

所以存在直線滿足條件，且的方程為：或．