Question

【題目】已知函數．

（1）當時，判斷函數的單調性；

（2）當有兩個極值點時，求a的取值范圍，并證明的極大值大于2．

Answer 1

【答案】（1）為(0,＋∞)上的減函數．（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，法1:結合二次函數的性質判斷導函數的符號，求出函數的單調性即可；法2：令h（x）=（-x2+3x-3）ex-a，根據函數的單調性求出h（x）的最大值，判斷即可；（2）令h（x）=（-x2+3x-3）ex-a，求出函數的導數，根據函數的單調性得到h（x）=0有兩不等實數根x1，x2（x1＜x2），求出a的范圍，求出f（x）的極大值判斷即可．

（1）由題知．

方法1：由于，，，

又，所以，從而，

于是為(0,＋∞)上的減函數．

方法2：令，則，

當時，，為增函數；當時，，為減函數．

則．由于，所以，

于是為(0,＋∞)上的減函數．

（2）令，則，

當時，，為增函數；當時，， 為減函數．

當x趨近于時， 趨近于，

由于有兩個極值點，所以有兩不等實根，即有兩不等實數根（）．

則有解得．可知，

又，則，

當 時，，單調遞減；當 時，，單調遞增；當 時，，單調遞減．

則函數在時取極小值，在時取極大值．

即，

而，即，

所以極大值．當時，恒成立，

故為上的減函數，所以