Question

已知O為△ABC內一點，若對任意k∈R，恒有|

OA

-

OB

-k

BC

|≥|

AC

|則△ABC一定是（　　）

• A、直角三角形
• B、鈍角三角形
• C、銳角三角形
• D、不能確定

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：應用題,平面向量及應用

分析：|

OA

-

OB

-k

BC

|≥|

AC

|即為|

BA

-k

BC

|≥|

AC

|，兩邊平方化簡可得，關于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立，由判別式△≤0，建立邊a，b，c的關系，進一步判斷三角形形狀．

解答： 解：設△ABC的三邊分別為a、b、c，由已知，|

BA

-k

BC

|≥|

AC

|，兩邊平方可得：a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0．若對任意k∈R都成立，所以判別式△=4a²c²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，化簡可得 sin²B≥

b2

c2

，再由正弦定理可得 sin²B≥

sin2B

sin2C

，sin²C≥1，只能有sin²C=1，C=90°，△ABC是直角三角形．
故選：A．

點評：本題考查了函數的恒成立問題，正弦定理的應用，兩個向量的數量積的運算，