Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且，橢圓過(guò)點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）法1：由題意可得，焦點(diǎn)，，從而，求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

法2：由題意可得，焦點(diǎn)，，橢圓過(guò)點(diǎn)），列方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．

法3：由題意可得，焦點(diǎn)，，橢圓過(guò)點(diǎn)，得，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．

（2）直線BF2的斜率，從而直線BF2的方程為，聯(lián)立，得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，由此能求出△F1BN的面積．

（1）〖解法1〗由題意可得，焦點(diǎn)，

，得，

，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

〖解法2〗由題意可得，焦點(diǎn)，

又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴

解得，

∴橢圓的方程為．

〖解法3〗由題意可得，焦點(diǎn)，

又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴

∴，∵ ∴可解得，

∴橢圓的方程為．

（2） ，直線的斜率

直線的方程為，即

聯(lián)立，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

又

∴

綜上，的面積為.