Question

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）用定義證明函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù).若當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）根據(jù)定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)滿足的結(jié)論,代入即可求得實(shí)數(shù)a的值;

（2）利用作差法,可證明在R上為單調(diào)遞增函數(shù);根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,可將不等式化為關(guān)于的不等式,進(jìn)而分類討論即可即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù).

所以滿足,代入可得

,

解得

（2）證明:當(dāng)時(shí)

在定義域R上任取

則

因?yàn)?/span>,所以,

則,即

所以在R上為單調(diào)遞增函數(shù)

當(dāng)時(shí)

所以

因?yàn)?/span>在R上為奇函數(shù),且單調(diào)遞增

所以,即

化簡(jiǎn)可得

當(dāng)時(shí),不等式恒成立

當(dāng)時(shí),

由打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,

所以

綜上可知,滿足不等式恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍為