Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是的中點，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，得，再由平面底面，證的底面，即可證明.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，建立空間直角坐標系，得到為平面的一個法向量，且，再求得平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）在中，，為的中點，所以.

因為平面底面，且平面底面，

所以底面.

又平面，

所以.

（Ⅱ）在直角梯形中，，，為的中點，

所以，

所以四邊形為平行四邊形.

因為，所以，由（Ⅰ）可知平面，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，，.

因為，，所以平面，

即為平面的一個法向量，且.

因為是棱的中點，所以點的坐標為，

又，設平面的法向量為.

則，即，

令，得，，所以.

從而 .

由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.