Question

【題目】已知函數的圖象過點P（1,2），且在處取得極值

（1）求的值；

（2）求函數的單調區間；

（3）求函數在上的最值.

Answer 1

【答案】（1）a="4," b=-3（2）單調增區間為，單調減區間為（3）最大值為6，最小值為

【解析】

試題（1）本題運用待定系數法求函數解析式，但函數圖象在x=處取得極值可得，通過解方程組可得到a、 b的值；（2）由導數性質求出f'（x）＞0和f'（x）＜0的x范圍就是函數f（x）的單調區間；（3）由函數在區間[-1，1]上的單調性：f（x）在上是減函數，在上是增函數求出函數的最值

試題解析：（1） ∵函數f（x）=x3+ax2+bx（a,bR）的圖象過點P（1，2）

∴ f（1）=2 ∴ a+b=1

又函數f（x）在x=處取得極值點

∴（）=0 因（x）=3x2+2 ax+b ∴2a+3b="-1"

解得 a="4," b="-3"

經檢驗 x=是f（x）極值點

（2）由（1）得（x）=3x2+8x-3令（x） ＞0 ，得 x＜ -3或 x＞

令（x） ＜0 ，得 -3＜ x ＜

函數f（x）的單調增區間為（，-3）, （,），

函數f（x）的單調減區間為（-3，）

（3） 由（2）知，又函數f（x）在x=處取得極小值點f（）=f（-1）="6," f（1）="2"

函數f（x）在[-1,1]上的最大值為6，最小值為