Question

正三棱錐的高為1，底面邊長為2，正三棱錐內有一個球與其四個面相切．則球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：設球的半徑為r，以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，求出r，由此能求出球的表面積．

解答： 解：如圖，過點P作PD⊥平面ABC于D，
連結并延長AD交BC于E，連結PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．
∵AB=2，
∴DE=

3

3

，
∵PD=1，
∴PE=

2 3

3

∴S_△PBC=

1

2

×2×

2 3

3

=

2 3

3

設球的半徑為r，以球心O為頂點，
棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，
則

1

3

×

3

4

×4×1=

1

3

×(

3

4

×4+3×

2 3

3

)r，
∴r=

1

3

，
∴球的表面積為

4

9

π．
故答案為：

4

9

π．

點評：本題考查棱錐的全面積和體積的求法，考查球的表面積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．