Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（m²+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）求得得f′（x）=3x²+1＞0，可得函數(shù)f（x）=x³+x是R上的增函數(shù)．
（3）由f（m²+1）+f（2m-3）＜0，可得f（m²+1）＜f（3-2m），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得m²+1＜3-2m，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x³+x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）=x³+x，可得f′（x）=3x²+1＞0，故函數(shù)f（x）=x³+x是R上的增函數(shù)．
（3）f（m²+1）+f（2m-3）＜0，可得f（m²+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），
∴m²+1＜3-2m，求得-1-

3

＜m＜-1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題．