Question

在公差不為零的等差數列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比數列．
（1）求a_n；
（2）設b_n=

1

anan+1

，求b₁+b₂+…+b_n的值；
（3）設c_n=a_n-8，求數列{|c_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得（1+d）²=1×（1+4d），由此能求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出b₁+b₂+…+b_n．
（3）由c_n=a_n-8=2n-9，得{c_n}是首項為-7，公差為2的等差數列，由此能求出數列{|c_n|}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵公差不為零的等差數列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比數列，
∴（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
（3）∵c_n=a_n-8=2n-9，
∴{c_n}是首項為-7，公差為2的等差數列，
由c_n=2n-9≥0，得n≥

9

2

，
∴當n≤4時，T_n=-[-7n+

n(n-1)

2

×2]=-n²+8n．
當n≥5時，T_n=[-7n+

n(n-1)

2

×2]-2[-7×4+

4(4-1)

2

×2]=n²-8n+32．
∴T_n=

-n2+8n，n≤4 n2-8n+32，n≥5

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．