Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=AD=AC=2，PD=

2

PA，△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，且點F為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BFD；
（2）求二面角C-BF-D的余弦值；
（3）求三棱錐B-CDF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）設AC∩BD=O，顯然OF是三角形△PAC的中位線，可得PA∥OF，即可證明：PA∥平面BFD；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面BFD、平面BFC的一個法向量，利用向量的夾角公式求二面角C-BF-D的余弦值；
（3）利用等體積轉換求三棱錐B-CDF的體積．

解答： （1）證明：由已知，PD=PC=

2

PA，PA=AD=AC=2，
∴∠PAD=∠PAC=90°，即PA⊥AD，PA⊥AC．
又∵AD∩AC=A，
∴PA⊥平面ABCD．
設AC∩BD=O，顯然OF是三角形△PAC的中位線，
∴PA∥OF，
又∵PA?平面BFD，OF?平面BFD，
∴PA∥平面BFD．…（4分）
（2）解：由（1）可知OF⊥平面ABCD，故不妨以O為原點，如圖建立空間直角坐標系．
則

OC

=(0，1，0)，

BC

=(-

3

，1，0)，

BF

=(-

3

，0，1)，

且

OC

是平面BFD的一個法向量．…（5分）
設平面BFC的一個法向量為

u

=(x，y，z)，則

u • BC =0 u • BF =0

⇒

- 3 x+y=0 - 3 x+z=0

令z=

3

⇒

x=1 y= 3 z= 3

∴

u

=(1，

3

，

3

)…（7分）
設二面角C-BF-D的大小為θ，則cosθ=

u • OC

| u |•| OC |

=

3

1× 7

=

21

7

∴二面角C-BF-D的余弦值為

21

7

．…（9分）
（3）解：∵S△BCD=

1

2

BD•OC=

1

2

×2

3

×1=

3

，OF⊥平面ABCD…（11分）
∴VB-CDF=VF-BCD=

1

3

•S△BCD•OF=

1

3

×

3

×1=

3

3

．…（13分）

點評：本題考查線面平行、垂直的判定，考查錐體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、垂直的判定是關鍵．