Question

已知△ABC的三內角A，B，C所對三邊分別為a，b，c，且sin（

π

4

+A）=

7 2

10

，0＜A＜

π

4

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由A的范圍求出A+

π

4

的范圍，根據sin（

π

4

+A）的值求出cos（

π

4

+A）的值，將sinA變形為sin（

π

4

+A-

π

4

），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（Ⅱ）由sinA的值求出cosA的值，利用余弦定理列出關系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出△ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵0＜A＜

π

4

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

π

2

，
∵sin（

π

4

+A）=

7 2

10

，
∴cos（

π

4

+A）=

2

10

，
∴sinA=sin（

π

4

+A-

π

4

）=sin（

π

4

+A）cos

π

4

-cos（

π

4

+A）sin

π

4

=

7 2

10

×

2

2

-

2

10

×

2

2

=

3

5

；
（Ⅱ）∵sinA=

3

5

，0＜A＜

π

4

，
∴cosA=

4

5

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-

8

5

bc=4≥2bc-

8

5

bc=

2

5

bc，即bc≤10，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤3，
則△ABC面積的最大值為3．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．