Question

【題目】在多面體中，正方形和矩形互相垂直，，分別是和的中點(diǎn)，.

（Ⅰ）求證：平面.

（Ⅱ）在邊所在的直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得平面，求的長(zhǎng)；

（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由面面垂直的性質(zhì)可證明線(xiàn)面垂直.

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量為，利用方向向量和法向量垂直可得，從而可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng).

(Ⅲ)求直線(xiàn)的方向向量，結(jié)合(Ⅱ)的法向量可求出線(xiàn)面角的正弦值.

證明：（I）由于正方形和矩形互相垂直，交線(xiàn)為，

由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面.

（Ⅱ）以，，所在的直線(xiàn)為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，設(shè)，那么

，，，設(shè)平面的法向量為，則有，取平面的一個(gè)法向量為，

要得平面，則，求得，的長(zhǎng)為.

（III），由（2）知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，則

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