Question

【題目】在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點，.有下列結論：

①三棱錐的三條側棱長均相等；

②的取值范圍是；

③若三棱錐的四個頂點都在球的表面上，則球的體積為；

④若，是線段上一動點，則的最小值為.

其中所有正確結論的編號是（ ）

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據三角形全等判斷①，根據的值和三角形的內角和得出的范圍，計算外接球半徑判斷③，將棱錐側面展開計算最短距離判斷④．

解：如圖1，，是的中點，，

又平面，，，故①正確；

，，又，，

過作，為垂足，如圖2，則，

又，，，故②正確；

，為平面截三棱錐外接球的截面圓心，

設外接球球心為，則在直線上，如圖3，

設，則，解得，故為外接球的球心．

外接球的體積為，故③錯誤．

若，則，又，故是等邊三角形，

將平面沿翻折到平面上，如圖4，圖5.

則的最短距離為線段的長．

，，，

，故④正確．

故選：．