Question

【題目】在斜三棱柱中，，側面是邊長為4的菱形，，，、分別為、的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析； (2) .

【解析】

（1）結合菱形的性質和勾股定理，證得，再由，得到，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；

（2）以為坐標原點，以射線為軸，以射線為軸，過向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，求得平面和的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）由題意，因為是菱形，，為中點，所以.

又因為是直角三角形的斜邊的中線，

故，又，，

所以，所以是直角三角形，∴，

因為，所以平面，所以，

又因為，，所以，所以平面.

（2）由（1）知平面，因為平面，所以平面平面，

又由，所以平面，

以為坐標原點，以射線為軸，以射線為軸，過向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系,如圖所示，則軸，

則，，，，，

，，，

由（1）知平面，∴平面的法向量，

設平面的法向量，，，

則，即，

令，則，.即，

所以，

所以，

故二面角的正弦值為.