Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，，分別為，的中點.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，由中位線定理可證，，再由已知條件可得，可證四邊形為平行四邊形，即可得證結論；

（2） 平面，點到平面的距離相等，轉化為求到平面的距離相等，連接，取的中點，連接，，可證，結合已知可得平面，由直線與平面所成角的定義，得，根據直角三角形邊角關系及中位線定理，求出，可得，由已知條件可得平面，進而有，可證平面，為所求距離；或求出三棱錐的體積和的面積，用等體積法，求點到平面的距離

解：（1）證明：如圖，取的中點，連接，，

在中，，分別為，的中點，

∴.又∵為中點，底面是矩形，

∴，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

又∵平面，平面，∴平面.

（2）方法一：連接，取的中點，連接，.

在中，，

∵平面，∴平面，

∵與平面所成角為，∴，

∵，∴，

在中，∵，，∴，

∴，

∴為等腰直角三角形，∴，

∵底面為矩形，∴，

∵平面，∴，又，

∴平面.

又平面，∴，

又∵，∴平面，

又∵，，

∴點到平面的距離為.

方法二：連接，取的中點，連接.

在中，，

∵平面，∴平面，

∵與平面所成角為，

∴.

∵，∴，在中，

∵，，

∴，，，

∴為等腰直角三角形，∴，

∵底面為矩形，∴，

∵平面，∴，又，

∴平面，∴.

在中，，

在中，.

設點到平面的距離為，則

由得.

∴，∴，

∴點到平面的距離為.