Question

【題目】已知函數

(1)討論函數的單調性;

(2)設,當函數與的圖象有三個不同的交點時,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數在上單調遞增,在上單調遞減.

(2)

【解析】

(1)對函數求導,根據的不同取值,結合不等式,可以判斷出函數的單調性;

(2)由題意可知：,得.得,

設,則有三個不同的根等價于函數存在三個不同的零點.對函數進行求導,然后判斷出其單調性,結合零點存在原理,最后求出實數的取值范圍.

(1)的定義域是,

,

當時.兩數在上單調遞增;

當時,令,得;令,得.

故函數在上單調遞增,在上單洞遞破.

(2)由，得.得,

設，則有三個不同的根等價于函數存在三個不同的零點.

,

當即時,，單調遞減,不可能有三個不同的零點,

當即，有兩個零點,

,

又開口向下，

當時, ,函數在上單調遞誡:

當時.函數在上單調遞增:

當時.,函數在上單調遞減.

因為，又，有,

所以

,

令.則.

令.則單調遞增.

由,求得,

當時，單調遞減，.，

顯然在上單調遞增，

故.

由零點存在性定理知在區間上有一個根.設為,

又.得.所以.所以是的另一個零點,

故當時,存在三個不同的零點.

故實數的取值范圍是.