Question

【題目】已知點，分別是橢圓的左頂點和上頂點，為其右焦點，，且該橢圓的離心率為；

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點為橢圓上的一動點，且不與橢圓頂點重合，點為直線與軸的交點，線段的中垂線與軸交于點，若直線斜率為，直線的斜率為，且（為坐標原點），求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意表示出，，根據，和離心率為，求出的值，即可求出橢圓方程.

（2）設直線的斜率為，直線方程為，設，中點為，聯立直線方程與橢圓方程，消去即可用含的式子表示、的坐標，即可表示出中垂線方程，求出的坐標，最后根據求出參數即可得解.

解：（1）依題意知：，，，，，

則，又，，

橢圓的標準方程為.

（2）由題意，設直線的斜率為，直線方程為

所以，設，中點為，

由消去得

中垂線方程為：

令得.

，

解得.

直線的方程為，

即