Question

已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且點(diǎn)，滿足條件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若點(diǎn)是三個(gè)不同的點(diǎn)， 判斷三點(diǎn)是否可以構(gòu)成直角三
角形？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）；點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1代入到中得到切線的斜率，代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而利用點(diǎn)斜式得到切線方程；第二問(wèn)，先求函數(shù)的定義域，令，得到方程的根，將定義域斷開(kāi)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)極值；第三問(wèn)，先排除幾個(gè)特例情況，在一般情況中，要證明三角形為直角三角形，只需判斷2邊垂直，用向量垂直的充要條件證明即可.
試題解析：（1）， ，又，所以曲線在處的切線方程為，即．
（2）（ⅰ）對(duì)于，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3d/c/xok5p1.png" style="vertical-align:middle;" />．
當(dāng)時(shí)，，，∴；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，∴
所以存在唯一的極值點(diǎn)，∴，則點(diǎn)為
（ⅱ）若，則，與條件不符，
從而得．同理可得．
若，則，與條件不符，從而得．
由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合．


從而，點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形．
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、向量垂直的充要條件.