Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），且

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）設f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值，及相應的x的值．

Answer 1

考點：平行向量與共線向量,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理可得（2a-c）cosB-bcosC=0，再利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，化為cosB=

1

2

，即可得出．
（2）利用兩角和差的正弦余弦公式可得f（x）=

3

sin(ωx+

π

6

)，再利用

2π

ω

=π，解得ω．可得f（x）=

3

sin(2x+

π

6

)．再利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

∥

n

，
∴（2a-c）cosB-bcosC=0，
由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k＞0，
∴（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
化為2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA＞0，
∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）f（x）=cos(ωx-

π

6

)+sinωx=cosωxcos

π

6

+sinωxsin

π

6

+sinωx
=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
=

3

(

3

2

sinωx+

1

2

cosωx)
=

3

sin(ωx+

π

6

)，
∵ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2．
∴f（x）=

3

sin(2x+

π

6

)．
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）在[0，

π

6

]上單調遞增；在[

π

6

，

π

2

]單調遞減．
∴當x=

π

6

時，f（x）取得最大值，f(

π

6

)=

3

；
又f（0）=

3

2

，f(

π

2

)=-

3

2

．
∴當x=

π

2

時，f（x）取得最小值，f(

π

2

)=-

3

2

．

點評：本題考查了向量共線定理、正弦定理、兩角和差的正弦余弦公式、正弦函數的圖象與性質，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．