Question

【題目】設定義在上的函數滿足：對于任意的、，當時，都有.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若為周期函數，證明：是常值函數；

（3）設恒大于零，是定義在上、恒大于零的周期函數，是的最大值.

函數. 證明：“是周期函數”的充要條件是“是常值函數”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由，可得函數是一個不遞減函數，得，即可求解實數的取值范圍；

（2）利用反證法，假設不是常值函數，令，且存在一個，使得，由函數的性質得到，從而得出矛盾，即可作出證明；

（3）充分性及必要性的證明：類似(2)證明充分性；再證必要性，然后分類證明即可.

試題分析：

（1）因為對于任意的，當時，都有，即可知道函數是一個不遞減的函數，即.若，其導函數為，可以得到.

（2）假設不是常值函數，并且其周期為.

令，且存在一個，使得.由于的性質可知，，且.因為是周期函數，所以，這與前面的結論矛盾，所以假設不成立，即是常值函數.

（3）充分性證明：當為常值函數時，令，即，因為是周期函數，所以也是周期函數.

必要性證明：當是周期函數時，令周期為.即有，則，又因為是周期函數，所以.即可得到，所以是周期函數，由（2）的結論可知，是常值函數.

綜上所述，是周期函數的充要條件是是常值函數.