Question

【題目】已知函數，對任意實數， .

（1）在上是單調遞減的，求實數的取值范圍；

（2）若對任意恒成立，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知得， ，利用單調性的定義，可知要使h（x）在（0，2]上是單調遞減的，必須h（x1）-h（x2）>0恒成立，從而只需1-tx1x2>0恒成立，即恒成立，故可求實數t的取值范圍；
（3）解法一：由得，分離參數可得任意恒成立，只需即可；解法二：由，得．構造，則f（x）<0任意恒成立，從而得即可求解.

試題解析：

（1）由已知得: ，

任取，則

＝

要使在上單調遞減，須恒成立．

， ，

恒成立，即恒成立，

又 ，

實數的取值范圍是.

（2）解法一：由，得

又 ，

又 對任意恒成立

，

當時，函數取得最小值

又，

正數的取值范圍是.

解法二：由，得

令，則

對任意恒成立

，即，解得.

正數的取值范圍是.