Question

【題目】如圖，點、，點是圓上一動點，線段的垂直平分線交線段于點，設點的軌跡為曲線.且直線交曲線于兩點（點在軸的上方）.

（1）求曲線的方程；

（2）試判斷直線與曲線的另一交點是否與點關于軸對稱？

Answer 1

【答案】（1）；（2）是.

【解析】

（1）如圖所示，，點Q的軌跡表示的曲線為橢圓，M，N為焦點，由此可求方程；

（2）設，，將直線方程與橢圓方程聯立化為：，假設點C與點B關于x軸對稱，則.下面證明D，A, C三點共線.即證明：, 即證明：利用根與系數的關系證明: 0即可.

（1）如圖所示，

有

∴的軌跡是以、為焦點的橢圓，設其方程為

則,

∴，∴；

（2）聯立得

設，

恒成立，，

假設與關于軸對稱，則，下證三點共線

即證，即證

∵，

∴

∴與共線，

∴與的另一交點與關于軸對稱