Question

【題目】在直角坐標系中， ，動點滿足：以為直徑的圓與軸相切.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，直線過點且與交于兩點，當與的面積之和取得最小值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）設點，圓心，由圓與軸相切于點，得| ，結合兩點間的距離公式整理可得點P的軌跡方程為 ；
（2）（ⅰ）當直線l的斜率不存在時，方程為 ，可得 ．

（ⅱ）當直線l的斜率存在時，設方程為 聯立直線方程與拋物線方程，可得關于的一元二次方程，利用根與系數的關系可得

再由 ，結合等號成立的條件求得的值，進一步得到值，則與的面積之和取得最小值時，直線的方程可求

試題解析：

（1）設點，圓心，

圓與軸相切于點，則，

所以，

又點為的中點，所以，

所以，整理得： .

所以點的軌跡方程為： .

（2）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，方程為： ，

易得.

（ⅱ）當直線的斜率存在時，設方程為： ， ， ，

由消去并整理得： ，

所以， ，

所以 ，

當且僅當時等號成立，又，

所以， 或， ，

所以，解得： ，

因為，所以當兩個三角形的面積和最小時，

直線的方程為： .