Question

【題目】在四棱柱中，底面為平行四邊形，平面，，．

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）推導出，，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；

（2）利用二面角的定義得出二面角的平面角為，可求得，然后以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.

（1），平面，平面，

平面，，

又，，，，

，，，，

又，平面，平面，平面，

而平面，平面平面；

（2）由（1）所證，平面，

所以即為二面角的平面角，即，

而，所以．

分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系．

則、、、、，

所以，，，

設平面的法向量為，則，即，

令，則，，得，

設與平面所成角為，則．