Question

【題目】已知函數，其中．

（1）若函數在點處的切線方程為，求的值；

（2）若函數有兩個極值點，證明：成等差數列；

（3）若函數有三個零點，對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由導數的幾何意義可得解；

（2）由等差數列的判定，只需證明，代入運算即可；

（3）由導數的綜合應用，求函數的單調性，再求函數的最值，解不等式即可得解.

解：（1）由函數在點處的切線方程為，

得 ，又，

即，

故；

（2）要證成等差數列，

只需證明，

又函數有兩個極值點，則，

+=

= ，

命題得證；

（3）由函數有三個零點，

得，解得且有兩個根為，

于是有 ，即，

有兩個相異的實根，不妨設為，

①當時，，

函數在為減函數，在為增函數，

又

所以，

故不等式恒成立，

② 當時， ，

函數在為減函數，在， 為增函數，

由，

故=，

對于任意的，不等式恒成立，

于是，

又 ，

故，

令

，則 ，

解得，

解得，即，

即

綜上可得的取值范圍為．